Поиcк по сайту by Google


Рейтинг@Mail.ru
Rambler's Top100
Электронные книги » Математика » Теория случайных процессов - Булинский А.В.

Теория случайных процессов - Булинский А.В.

 
Название: Теория случайных процессов
Автор: Булинский А.В.
Категория: Математика
Тип: Книга
Дата: 19.01.2009 14:13:11
Скачано: 712
Оценка:
Описание: Предмет теории случайных процессов, некоторые задачи. Случайные элементы и их распределения. Цилиндрическая <т-алгебра Вт- Случайная функция как семейство случайных элементов и как одно измеримое отображение. Описание Вт для бесконечного Т. Согласованность проекций меры. Формулировка теоремы Колмогорова. Построение семейства независимых случайных элементов с заданными распределениями. Эмпирические меры, процессы частных сумм, процессы восстановления, модель страхования Крамера - Лундберга, пуассоновская случайная мера. Эквивалентные случайные функции. Важнейшей особенностью современной теории вероятностей является то, что ее методы и результаты представляют не только самостоятельный математический интерес, но и находят разнообразные приложения в других научных дисциплинах, таких как физика, химия, биология, финансовая математика и др., а также в технике. В чем же специфика того раздела теории вероятностей, который называется случайными процессами? Вначале теория вероятностей имела дело со случайными экспериментами (подбрасывание монеты и т. п.), в которых изучалось, произошло или нет какое-либо явление («событие»). Затем возникло понятие случайной величины, которое позволило количественно описывать результаты проводимых экспериментов, например, выигрыш в лотерее. Наконец, в случайные эксперименты был явно введен фактор времени, т. е. появилась возможность строить модели, описывающие динамику развития изучаемого случайного явления. Иначе говоря, исходы и случайных экспериментов, которые рассматриваются в теории случайных процессов, представляют собой некоторые функции. Прежде чем переходить к систематическому изложению курса, упомянем несколько принципиальных задач, большинство из которых будет рассмотрено в этих лекциях. 1. Какую математическую модель можно предложить для описания "хаотического" движения, скажем, цен акций или движения частиц цветочной пыльцы в воде? Совершенно нетривиальные модели диффузии изучались Башелье, Эйнштейном, Смолуховским, Ланжевеном, Винером, Колмогоровым и другими учеными. Мы увидим, что в конструкции броуновского движения, используемого для описания "хаотичности" соответствующие траектории, являющиеся непрерывными, оказываются недифференцируемыми ни в одной точке. 2. В связи с предыдущим пунктом возникает вопрос, зачем могут понадобиться такие экзотические процессы? Мы покажем, что на основе процессов подобного типа могут быть решены очень важные «неслучайные» задачи, например, задача Дирихле: найти гармоническую в области G С IRd функцию, которая принимает заданные значения на границе этой области (далее мы уточним формулировку). 3. Будет объяснено, как изучение функционалов от броуновского движения позволяет, например, доказать знаменитый критерий согласия Колмогорова, излагающийся в курсе математической статистики. 4. Упомянутые в пункте 1 процессы стимулировали развитие теории стохастических дифференциальных уравнений, требующей, как будет ясно в дальнейшем, особого «стохастического исчисления». Где могут пригодиться подобные уравнения? В частности, изучая такого рода уравнения, можно предложить эффективный способ (применяемый на практике!) выделения («фильтрации») полезного сигнала, скрытого в помехах(«шум»).
Файл: 1.49 МБ
Скачать